Wprowadzenie do potęgowania
Potęgowanie
Potęgowanie to operacja matematyczna, która polega na mnożeniu liczby przez samą siebie określoną ilość razy. Jeśli mamy liczbę \(a\) i chcemy ją podnieść do potęgi \(n\), zapisujemy to jako $$\(a^n\)$$.
Potęga zerowa
\(a^0 = 1\) dla każdej liczby \(a \neq 0\).
Przykład
\(2^0 = 1\), \(5^0 = 1\), \((-3)^0 = 1\).
Potęga pierwsza
\(a^1 = a\).
Przykład
\(2^1 = 2\), \(5^1 = 5\), \((-3)^1 = -3\).
Potęga o wykładniku ujemnym
\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\).
Przykład
\(5^{-4} = \frac{1}{625}\), \((-3)^{-8} = \frac{1}{6561}\).
Potęga ilorazu
\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n\).
Przykład
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{2}\), \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 8\).
Pierwiastkowanie
\(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\).
Przykład
\(9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\), \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\).
Potęga ułamkowa
\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\).
Przykład
\(9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 27\).
Mnożenie potęg o tych samych podstawach
\(a^r \cdot a^s = a^{r+s}\).
Przykład
\(2^3 \cdot 2^5 = 2^{8}\).
Dzielenie potęg o tych samych podstawach
\(\frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}\).
Przykład
\(\frac{2^5}{2^3} = 2^{2}\).
Potęgowanie potęgi
\((a^r)^s = a^{r \cdot s}\).
Przykład
\((2^3)^4 = 2^{12}\).
Potęgowanie iloczynu
\((a \cdot b)^r = a^r \cdot b^r\).
Przykład
\((3\sqrt{5})^2 = 45\).
Potęgowanie ilorazu
\(\left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r}\).
Przykład
\(\left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}\).