Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to zestaw wyrażeń algebraicznych, które upraszczają przekształcanie równań i wyrażeń matematycznych.

Kwadrat sumy

Kwadrat sumy dwóch wyrażeń można przedstawić jako sumę kwadratów tych wyrażeń oraz ich podwojonego iloczynu: \[(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\]

Przykład

\[(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9\]

Kwadrat różnicy

Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń można przedstawić jako sumę kwadratów tych wyrażeń oraz różnicy ich podwojonego iloczynu: \[(a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\]

Przykład

\[(x – 4)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 – 8x + 16\]

Różnica kwadratów

Różnica kwadratów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy i różnicy tych wyrażeń: \[a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\]

Przykład

\[x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)\]

Sześcian sumy

Sześcian sumy dwóch wyrażeń można przedstawić jako sumę sześcianów tych wyrażeń oraz trzykrotności iloczynu ich sumy i kwadratów: \[(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\]

Przykład

\[(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\]

Sześcian różnicy

Sześcian różnicy dwóch wyrażeń można przedstawić jako różnicę sześcianów tych wyrażeń oraz trzykrotności iloczynu ich różnicy i kwadratów: \[(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\]

Przykład

\[(x – 1)^3 = x^3 – 3x^2 + 3x – 1\]

Suma sześcianów

Suma sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi sumy tych wyrażeń oraz kwadratu różnicy: \[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)\]

Przykład

\[x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 – 2x + 4)\]

Różnica sześcianów

Różnica sześcianów dwóch wyrażeń jest równa iloczynowi różnicy tych wyrażeń oraz kwadratu ich sumy: \[a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)\]

Przykład

\[x^3 – 27 = (x – 3)(x^2 + 3x + 9)\]

Różnica n-tych potęg

Różnica n-tych potęg dwóch wyrażeń można wyrazić jako iloczyn różnicy tych wyrażeń oraz szeregu potęg ich sum i różnic: \[a^n – b^n = (a – b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + … + ab^{n-2} + b^{n-1})\]W szczególności: \[a^n – 1 = (a – 1)(a^{n-1} + a^{n-2} + … + a + 1)\]

Przykład

\[x^4 – 16 = (x^2 – 4)(x^2 + 4)\]